Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).

Скорость течения реки \( u = 4 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 4 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 4 \) км/ч.

Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v - u} = \frac{192}{v - 4} \) часов.

Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v + u} = \frac{192}{v + 4} \) часов.

По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 4 часа меньше:

\[ t_{против} - t_{по} = 4 \]\[ \frac{192}{v - 4} - \frac{192}{v + 4} = 4 \]

Разделим обе части уравнения на 4:

\[ \frac{48}{v - 4} - \frac{48}{v + 4} = 1 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{48(v + 4) - 48(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 1 \]\[ \frac{48v + 192 - 48v + 192}{v^2 - 16} = 1 \]\[ \frac{384}{v^2 - 16} = 1 \]

Умножим обе части на \( v^2 - 16 \) (при условии, что \( v^2 - 16 \neq 0 \), т.е. \( v \neq 4 \) и \( v \neq -4 \). Так как \( v \) — скорость, \( v > 0 \). Также \( v > 4 \) для движения против течения).

\[ 384 = v^2 - 16 \]\[ v^2 = 384 + 16 \]\[ v^2 = 400 \]\[ v = \sqrt{400} \]\[ v = 20 \] (так как \( v > 0 \))

Проверка:

Скорость против течения: \( 20 - 4 = 16 \) км/ч. Время: \( \frac{192}{16} = 12 \) часов.

Скорость по течению: \( 20 + 4 = 24 \) км/ч. Время: \( \frac{192}{24} = 8 \) часов.

Разница во времени: \( 12 - 8 = 4 \) часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 20 км/ч.