4. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Пусть $$x$$ км/ч – собственная скорость лодки, тогда скорость лодки по течению $$(x + 1)$$ км/ч, а скорость лодки против течения $$(x - 1)$$ км/ч.

Лодка была в пути 8 часов (с 10:00 до 18:00). Из этого времени она стояла 2,5 часа.

Составим уравнение:

$$\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 8 - 2,5$$

$$\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 5,5$$

$$30(x - 1) + 30(x + 1) = 5,5(x + 1)(x - 1)$$ $$30x - 30 + 30x + 30 = 5,5(x^2 - 1)$$ $$60x = 5,5x^2 - 5,5$$ $$5,5x^2 - 60x - 5,5 = 0$$ $$11x^2 - 120x - 11 = 0$$

$$D = (-120)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-11) = 14400 + 484 = 14884 = 122^2$$

$$x_1 = \frac{120 + 122}{2 \cdot 11} = \frac{242}{22} = 11$$

$$x_2 = \frac{120 - 122}{22} = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11}$$ – не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Значит, собственная скорость лодки равна 11 км/ч.

Ответ: 11