Моторная лодка за 2 ч движения по течению реки и 5 ч против течения проходит 120 км. Найдите скорость лодки по течению и её скорость против течения, если за 7 ч движения против течения она проходит на 52 км больше, чем за 3 ч движения по течению.

Решение:

Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v_л\) км/ч, а скорость течения реки как \(v_т\) км/ч.

Скорость лодки по течению: \(v_{по}\) = \(v_л + v_т\) км/ч.

Скорость лодки против течения: \(v_{прот}\) = \(v_л - v_т\) км/ч.

Из первого условия задачи составим первое уравнение:

Расстояние = Скорость × Время

\(2(v_л + v_т) + 5(v_л - v_т) = 120\)

\(2v_л + 2v_т + 5v_л - 5v_т = 120\)

\(7v_л - 3v_т = 120\) (Уравнение 1)

Из второго условия задачи составим второе уравнение:

\(7(v_л - v_т) = 3(v_л + v_т) + 52\)

\(7v_л - 7v_т = 3v_л + 3v_т + 52\)

\(7v_л - 3v_л - 7v_т - 3v_т = 52\)

\(4v_л - 10v_т = 52\)

Разделим обе части на 2:

\(2v_л - 5v_т = 26\) (Уравнение 2)

Теперь решим систему уравнений:

1. Выразим \(v_л\) из Уравнения 2:

\(2v_л = 5v_т + 26\)

\(v_л = \frac{5v_т + 26}{2}\)

2. Подставим это выражение для \(v_л\) в Уравнение 1:

\(7\left(\frac{5v_т + 26}{2}\right) - 3v_т = 120\)

\(\frac{35v_т + 182}{2} - 3v_т = 120\)

\(\frac{35v_т + 182 - 6v_т}{2} = 120\)

\(29v_т + 182 = 240\)

\(29v_т = 240 - 182\)

\(29v_т = 58\)

\(v_т = \frac{58}{29} = 2\)

Скорость течения реки \(v_т = 2\) км/ч.

3. Теперь найдём скорость лодки в стоячей воде:

\(v_л = \frac{5(2) + 26}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18\)

Скорость лодки в стоячей воде \(v_л = 18\) км/ч.

Найдем скорость лодки по течению и против течения:

Скорость по течению: \(v_{по} = v_л + v_т = 18 + 2 = 20\) км/ч.

Скорость против течения: \(v_{прот} = v_л - v_т = 18 - 2 = 16\) км/ч.

Проверка:

По первому условию: \(2(20) + 5(16) = 40 + 80 = 120\) км (верно).

По второму условию: За 7 ч против течения: \(7 \cdot 16 = 112\) км. За 3 ч по течению: \(3 \cdot 20 = 60\) км. Разница: \(112 - 60 = 52\) км (верно).

Ответ: Скорость лодки по течению — 20 км/ч, скорость против течения — 16 км/ч.