Петя и Дима собирают марки. Если Петя отдаст Диме 10 своих марок, то у мальчиков марок станет поровну. Если же Петя отдаст Диме 50 марок, то у него останется в 5 раз меньше марок, чем станет у Димы. Сколько марок в коллекции у каждого мальчика?

Решение:

Обозначим количество марок у Пети как \(P\), а у Димы как \(D\).

Из первого условия задачи составим первое уравнение:

Если Петя отдаст 10 марок, у него станет \(P - 10\) марок, а у Димы станет \(D + 10\) марок. Марок станет поровну:

\(P - 10 = D + 10\)

\(P = D + 20\) (Уравнение 1)

Из второго условия задачи составим второе уравнение:

Если Петя отдаст 50 марок, у него останется \(P - 50\) марок, а у Димы станет \(D + 50\) марок. У Пети останется в 5 раз меньше марок, чем у Димы, то есть \(P - 50 = \frac{1}{5}(D + 50)\).

\(5(P - 50) = D + 50\)

\(5P - 250 = D + 50\)

\(5P - D = 300\) (Уравнение 2)

Теперь решим систему уравнений:

1. Подставим выражение для \(P\) из Уравнения 1 в Уравнение 2:

\(5(D + 20) - D = 300\)

\(5D + 100 - D = 300\)

\(4D = 300 - 100\)

\(4D = 200\)

\(D = \frac{200}{4} = 50\)

У Димы \(D = 50\) марок.

2. Теперь найдём количество марок у Пети, подставив значение \(D\) в Уравнение 1:

\(P = 50 + 20\)

\(P = 70\)

У Пети \(P = 70\) марок.

Проверка:

Первое условие: Если Петя отдаст 10 марок (70 - 10 = 60), у Димы станет (50 + 10 = 60). Марок поровну (60 = 60). Верно.

Второе условие: Если Петя отдаст 50 марок (70 - 50 = 20), у Димы станет (50 + 50 = 100). У Пети (20) в 5 раз меньше, чем у Димы (100), так как \(100 / 5 = 20\). Верно.

Ответ: У Пети 70 марок, у Димы 50 марок.