Nº2. На рисунке 2 МN || KL. а) Докажите, что MO OL = NO OK. б) Найдите МО, если МN =10 см, KL = 24 см, МК = 17 см.

а) Рассмотрим треугольники MON и KOL. ∠MON = ∠KOL как вертикальные, ∠NMO = ∠OKL как накрест лежащие при MN || KL и секущей MK. Значит, треугольники MON и KOL подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{MO}{OL} = \frac{NO}{OK} $$

Перемножим крест-накрест:

$$ MO \cdot OK = NO \cdot OL $$

б) Обозначим MO = x. Тогда OK = 17 - x. Из подобия треугольников MON и KOL следует:

$$ \frac{MO}{KL} = \frac{MN}{KL} $$ $$ \frac{x}{24} = \frac{10}{17-x} $$

Выразим ON через NK:

$$ \frac{MO}{OK} = \frac{MN}{KL} $$

Используем свойство пропорции:

$$ \frac{MO}{KL} = \frac{MN}{KL} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{MO}{OK} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} $$

Выразим OK через MK:

$$ OK = MK - MO = 17 - MO $$

Пусть MO = x, тогда:

$$ \frac{x}{17-x} = \frac{5}{12} $$

Решим уравнение:

$$ 12x = 5(17-x) $$ $$ 12x = 85 - 5x $$ $$ 17x = 85 $$ $$ x = 5 $$

MO = 5 см.

Ответ: 5 см