N8. Вычислить: \( \int_2^3 \frac{1}{x} dx \)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_2^3 \frac{1}{x} dx \) воспользуемся таблицей интегралов и формулой Ньютона-Лейбница.

1. Первообразная для функции \( \frac{1}{x} \) равна \( \ln|x| \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
3. Подставим пределы интегрирования:

\[ \int_2^3 \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_2^3 = \ln|3| - \ln|2| \]

Так как \( 3 \) и \( 2 \) положительны, модули можно опустить:

\[ = \ln 3 - \ln 2 \]

Используя свойство логарифмов \( \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \):

\[ = \ln \frac{3}{2} \]

Ответ: \( \ln \frac{3}{2} \).