6*. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка O, на отрезке AD — точка M и на отрезке CD — точка K, причем DM = DK. Найдите ∠MOD, если ∠СКО = 110°.

Дано: $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, AB = BC BD - биссектриса DM = DK $$\angle CKO = 110^\circ$$ Найти: $$\angle MOD$$ Решение: 1. $$\angle BCK = 180^\circ - \angle CKO = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ (смежные углы). 2. Т.к. $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle BAC = \angle BCA$$. BD - биссектриса, следовательно, $$\angle ABD = \angle CBD$$. 3. Рассмотрим $$\triangle BCD$$. $$\angle BDC = 90^\circ$$, так как BD - высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике. Тогда $$\angle CBD = 90^\circ - \angle BCA$$. 4. Так как DM = DK, то $$\triangle DMK$$ - равнобедренный, и $$\angle DMK = \angle DKM$$. 5. Рассмотрим $$\triangle CDK$$. $$\angle CDK = 90^\circ$$ и $$\angle BCK = 70^\circ$$. Тогда $$\angle DCK = 70^\circ$$, $$\angle DKM = \angle CKO - 90^\circ = 110 - 90 = 20$$. 6. $$\angle DMK = \angle DKM = 20^\circ$$. 7. $$\angle MDK = 180^\circ - 2 \cdot \angle DKM = 180^\circ - 2 \cdot 20^\circ = 140^\circ$$. 8. $$\angle ADK = 180^\circ - \angle MDK = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$. 9. $$\angle ADB = 90^\circ$$. 10. Рассмотрим $$\triangle ABD$$. $$\angle BAD = 90^\circ - \angle ABD$$. 11. $$\angle BOD = 180 - (45 + 20) = 115$$ 12. $$\angle MOD = 180 - 115 = 65$$ Ответ: $$\angle MOD = 70^\circ$$