3. На биссектрисе угла ВАС отмечены точки О и Дтак, что А-О-Д, углы АОС и АОВ равны. Точки С, О и В не ле- жат на одной прямой. Докажите, что треугольники ABD и ACD равны.

3. Дано: AO - биссектриса угла BAC, точки O и D лежат на биссектрисе, A-O-D, ∠AOC = ∠AOB, точки C, O, B не лежат на одной прямой.

Доказать: ΔABD = ΔACD

Доказательство:

AO - биссектриса, следовательно, ∠BAO = ∠CAO.

Рассмотрим треугольники AOB и AOC: AO - общая сторона, ∠AOC = ∠AOB (по условию), ∠BAO = ∠CAO (т.к. AO - биссектриса). Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: AB = AC и BO = OC.

Рассмотрим треугольники BOD и COD: OD - общая сторона, BO = OC (доказано выше). ∠BOD = ∠AOD - ∠AOB; ∠COD = 180 - ∠AOC. ∠AOC = ∠AOB, следовательно, ∠BOD = ∠COD.

Треугольники BOD и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BD = CD.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD: AD - общая сторона, AB = AC (доказано выше), BD = CD (доказано выше). Следовательно, ΔABD = ΔACD по трем сторонам.

Ответ: Треугольники ABD и ACD равны.