2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, К – середина АС, ВС = 13 см. На сторонах АВ и ВС соответ- ственно отмечены точки Е и Р так, что углы АКЕ И СКР равны, ВЕ = 5 см. Найдите длину РС.

2. Дано: ΔABC, AB = BC, K - середина AC, BC = 13 см, BE = 5 см, ∠AKE = ∠CKP

Найти: PC

Решение:

Т.к. АВ=ВС, то ΔABC - равнобедренный, ВК - медиана, следовательно, ВК - биссектриса и высота. Угол АКВ = 90 градусов.

Рассмотрим углы АКЕ и СКР, угол АКЕ = углу СКР (по условию). Угол АКЕ + угол ЕКС = углу АКВ = 90 градусов. Угол СКР + угол ЕКС = углу ВКС. Следовательно, угол ВКС = углу АКВ = 90 градусов. Угол ЕКС = 90 - угол АКЕ, угол ВКР = 90 - угол СКР. Т.к. угол АКЕ = углу СКР, то угол ЕКС = углу ВКР.

Рассмотрим треугольники ЕВК и РВК. ВК - общая сторона. Угол ЕВК = углу РВК (т.к. ВК - биссектриса угла АВС). Угол ЕКС = углу ВКР (доказано выше). Следовательно, треугольники ЕВК и РВК равны по стороне и двум прилежащим углам.

ВЕ = ВР = 5 см. ВС = ВР + РС, 13 = 5 + РС, РС = 13 - 5 = 8 см.

Ответ: РС = 8 см.