454. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Отрезки АК и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что: 1) треугольник АОС - равнобедренный; 2) прямая ВО — серединный перпендикуляр отрезка АС.

Question

Вопрос:

454. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Отрезки АК и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что: 1) треугольник АОС - равнобедренный; 2) прямая ВО — серединный перпендикуляр отрезка АС.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для доказательства утверждений задачи, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, где AB = BC. На сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно, такие что BM = BK. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O.

1) Докажем, что треугольник AOC - равнобедренный.

Рассмотрим треугольники ABK и CBM. У них:

AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC)
∠BAK = ∠BCM (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC)
BK = BM (по условию)

Следовательно, ΔABK = ΔCBM по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AK = CM.

Теперь рассмотрим треугольники AOC. Для этого заметим, что ∠OAC = ∠OCA, так как ∠BAC = ∠BCA в равнобедренном треугольнике ABC. Следовательно, треугольник AOC - равнобедренный с основанием AO = OC.

2) Докажем, что прямая BO — серединный перпендикуляр отрезка АС.

Так как ΔABK = ΔCBM, то ∠ABK = ∠CBM. Следовательно, BO - биссектриса угла ABC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный и BO - биссектриса, проведенная из вершины B к основанию AC, то BO также является медианой и высотой.

Следовательно, BO — серединный перпендикуляр отрезка AC.

Ответ:

Похожие