455. На рисунке 266 АВ = CD, BC = AD. Докажите, что АО = OC.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и BC = AD. Необходимо доказать, что AO = OC, где O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них:

Следовательно, ΔABC = ΔCDA по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

2. Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.

3. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них:

4. Поскольку ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO, то AO = CO (как соответствующие стороны в равных треугольниках).