5. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажите, что AD = CE.

Для доказательства равенства отрезков AD и CE рассмотрим треугольники ΔADC и ΔCEA.

Из условия задачи известно:

• ∠ACD = ∠CAE
• Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, AB = BC и ∠BAC = ∠BCA

Рассмотрим углы ΔADC и ΔCEA:

• ∠DAC = ∠BAC - ∠CAE
• ∠ECA = ∠BCA - ∠ACD

Так как ∠BAC = ∠BCA и ∠ACD = ∠CAE, то ∠DAC = ∠ECA.

Теперь рассмотрим треугольники ΔADC и ΔCEA:

• AC - общая сторона
• ∠ACD = ∠CAE (по условию)
• ∠DAC = ∠ECA (доказано выше)

Следовательно, ΔADC = ΔCEA по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AD = CE.

Ответ: AD = CE