5. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К такие, что ∠BAK = ∠ВСМ. Докажите, что ВМ = ВК.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC и ∠BAK = ∠BCM.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

2. По условию, ∠BAK = ∠BCM.

3. Выразим ∠KAC и ∠MCA.

∠KAC = ∠BAC - ∠BAK.

∠MCA = ∠BCA - ∠BCM.

4. Так как ∠BAC = ∠BCA и ∠BAK = ∠BCM, то ∠KAC = ∠MCA.

5. Рассмотрим треугольники AKC и CMA.

AC - общая сторона.

∠KAC = ∠MCA (доказано выше).

∠BAC = ∠BCA (по условию).

6. Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны. Это второй признак равенства треугольников (угол-сторона-угол).

Следовательно, треугольники AKC и CMA равны по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников AKC и CMA следует, что AK = CM.

7. Рассмотрим треугольники BAK и BCM.

AB = BC (по условию, так как треугольник ABC равнобедренный).

∠BAK = ∠BCM (по условию).

AK = CM (доказано выше).

Если два треугольника имеют две равные стороны и равные углы, заключённые между этими сторонами, то такие треугольники равны. Это первый признак равенства треугольников (сторона-угол-сторона).

Следовательно, треугольники BAK и BCM равны по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников BAK и BCM следует, что BM = BK.

Ответ: BM = BK.