4. На рисунке ∠ABE = ∠CBE и LAEB = ∠CEB. Докажите равенство отрезков AD и CD.

Для доказательства равенства отрезков AD и CD, рассмотрим треугольники ABE и CBE.

1. По условию, ∠ABE = ∠CBE и ∠AEB = ∠CEB.

2. BE - общая сторона для обоих треугольников.

3. Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны. Это второй признак равенства треугольников (угол-сторона-угол).

Следовательно, треугольники ABE и CBE равны по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников ABE и CBE следует, что AB = CB и AE = CE.

Теперь рассмотрим треугольники AED и CED.

1. AE = CE (из равенства треугольников ABE и CBE).

2. ∠AEB = ∠CEB (по условию задачи).

3. ED - общая сторона.

Если два треугольника имеют две равные стороны и равные углы, заключённые между этими сторонами, то такие треугольники равны. Это первый признак равенства треугольников (сторона-угол-сторона).

Следовательно, треугольники AED и CED равны по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников AED и CED следует, что AD = CD.

Ответ: AD = CD.