3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что ∠ACD=∠CAЕ. Докажите, что AD = СЕ.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC и углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Дано, что ∠ACD = ∠CAE.

Докажем, что AD = CE.

1. Рассмотрим треугольники ADC и CEA.

2. AC - общая сторона.

3. ∠ACD = ∠CAE (по условию).

4. ∠DAC = ∠BAC - ∠BAE

∠ECA = ∠BCA - ∠BCD

Так как ∠BAC = ∠BCA и ∠ACD = ∠CAE, то ∠DAC = ∠ECA.

Таким образом, треугольники ADC и CEA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников): AC - общая, ∠ACD = ∠CAE, ∠DAC = ∠ECA.

Из равенства треугольников ADC и CEA следует, что AD = CE как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: AD = CE (доказано).