11) На числовой прямой даны три отрезка: Р = [135; 218], Q = [174; 308] и R = [246; 382]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула (((x∈Q)→((x∈P) V (x ∈R))))→(¯(x∈A)→(x∈Q))

Для решения данной задачи необходимо понять, когда формула $$(((x \in Q) \rightarrow ((x \in P) \lor (x\in R))))\rightarrow(\lnot(x\in A)\rightarrow(x\in Q))$$ тождественно истинна. Эта формула имеет вид $$A \rightarrow B$$, которая ложна только тогда, когда A истинно, а B ложно.

Рассмотрим условие истинности импликации: $$ (A \rightarrow B) \equiv (\lnot A \lor B)$$. Таким образом, исходная формула эквивалентна: $$\lnot ((x \in Q) \rightarrow ((x \in P) \lor (x\in R))) \lor (\lnot(x\in A)\rightarrow(x\in Q))$$ $$\equiv (x \in Q) \land \lnot((x \in P) \lor (x\in R)) \lor (x \in A \lor x \in Q)$$ $$\equiv (x \in Q) \land (x
otin P) \land (x
otin R) \lor (x \in A \lor x \in Q)$$ Чтобы формула была тождественно истинной, нужно, чтобы при выполнении условия $$(x \in Q) \land (x
otin P) \land (x
otin R)$$ выполнялось также условие $$(x \in A \lor x \in Q)$$. Поскольку $$x \in Q$$ уже есть в первом условии, остается только, чтобы выполнялось условие $$(x \in Q) \land (x
otin P) \land (x
otin R)$$.

Отрезки: P = [135; 218], Q = [174; 308], R = [246; 382].

Найдем $$Q \cap \lnot P \cap \lnot R$$

Q = [174, 308], P = [135, 218]. $$Q \cap P = [174, 218]$$. Тогда $$Q \cap \lnot P = (218, 308]$$

R = [246, 382], $$Q \cap \lnot P = (218, 308]$$. Тогда $$Q \cap \lnot P \cap \lnot R = (218, 246)$$

Значит A должен содержать (218,246), то есть A=[218,246]. Длина равна 246-218=28.

Ответ: 28