10) На числовой прямой даны три отрезка: Р = [1315; 2161], Q = [2344; 3516] и R = [2828; 3814]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула (((x∈Q) → ((x ∈ P) V (x∈R))))→(¯(x∈A)→(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Для решения данной задачи необходимо понять, когда формула $$(((x \in Q) \rightarrow ((x \in P) \lor (x\in R))))\rightarrow(\lnot(x\in A)\rightarrow(x\in Q))$$ тождественно истинна. Эта формула имеет вид $$A \rightarrow B$$, которая ложна только тогда, когда A истинно, а B ложно.

Рассмотрим условие истинности импликации: $$ (A \rightarrow B) \equiv (\lnot A \lor B)$$. Таким образом, исходная формула эквивалентна: $$\lnot ((x \in Q) \rightarrow ((x \in P) \lor (x\in R))) \lor (\lnot(x\in A)\rightarrow(x\in Q))$$ $$\equiv (x \in Q) \land \lnot((x \in P) \lor (x\in R)) \lor (x \in A \lor x \in Q)$$ $$\equiv (x \in Q) \land (x
otin P) \land (x
otin R) \lor (x \in A \lor x \in Q)$$ Чтобы формула была тождественно истинной, нужно, чтобы при выполнении условия $$(x \in Q) \land (x
otin P) \land (x
otin R)$$ выполнялось также условие $$(x \in A \lor x \in Q)$$. Поскольку $$x \in Q$$ уже есть в первом условии, остается только, чтобы выполнялось условие $$(x \in Q) \land (x
otin P) \land (x
otin R)$$.

Определим пересечение отрезка Q с дополнением отрезков P и R. Отрезок Q = [2344, 3516], P = [1315, 2161], R = [2828, 3814].

Сначала найдем область, где $$x \in Q$$ и $$x
otin P$$. Так как Q = [2344, 3516] и P = [1315, 2161], пересечение Q и P пустое. Поэтому $$x \in Q$$ и $$x
otin P$$ выполняется на всем отрезке Q.

Теперь учтем условие $$x
otin R$$. R = [2828, 3814]. Пересечение Q и R это [2828, 3516]. Тогда условие $$x
otin R$$ выполняется на отрезке [2344, 2828].

Таким образом, отрезком A должен быть [2344, 2828]. Длина отрезка равна 2828 - 2344 = 484.

Ответ: 484