1. На данном рисунке треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, AD = CE. а) Докажите, что треугольник DBE – равнобедренный. б) Найдите ∠BDE, если ∠BEC = 115°.

Рассмотрим решение задачи №1:

а) Докажем, что треугольник DBE – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, значит, $$∠BAC = ∠BCA$$.

Так как AD = CE, то отрезок AC разделен на равные отрезки.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE. У них AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC), AD = CE (по условию), и углы ∠BAC = ∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC). Следовательно, треугольники ABD и CBE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что BD = BE. Значит, треугольник DBE – равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Найдем ∠BDE, если ∠BEC = 115°.

Так как треугольники ABD и CBE равны, то углы, лежащие против равных сторон, равны. Следовательно, $$∠BDE = ∠BEC = 115°$$.

Ответ: ∠BDE = 115°