8. На дне аквариума стоит склеенная из четырёх кубиков деталь. Длина ребра каждого кубика 10 см. В аквариум медленно наливают воду. Когда высота уровня воды достигает 10 см, конструкция отрывается от дна. Опыт повторяют, натерев нижнюю грань детали парафином. До какой высоты следует в этом случае налить воду, чтобы конструкция оторвалась от дна? [4.№ O-97]

Первый случай (без парафина): Когда уровень воды достигает 10 см, вся нижняя часть детали (один кубик) полностью погружена в воду, и сила Архимеда действует на этот кубик. Объем кубика: $$V_{кубика} = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3 = 0.001 \text{ м}^3$$ Сила Архимеда: $$F_A = \rho_{воды} \cdot V_{кубика} \cdot g = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.001 \text{ м}^3 \cdot g = 1 \text{ кг} \cdot g$$ То есть, сила Архимеда равна весу 1 кг. Так как конструкция отрывается от дна при погружении одного кубика, это означает, что вес конструкции равен весу вытесненной воды одним кубиком, т.е. 1 кг. Второй случай (с парафином): Парафин предотвращает контакт нижней грани кубика с водой, и сила Архимеда не действует на эту грань сразу. Чтобы конструкция оторвалась от дна, нужно, чтобы уровень воды поднялся выше 10 см. Вода начнет действовать на боковые грани нижнего кубика и верхние кубики. Пусть высота подъема воды будет $$h$$ (больше 10 см). Сила Архимеда будет действовать на боковые грани нижнего кубика и на те части верхних кубиков, которые будут погружены в воду. Так как вес конструкции равен 1 кг, сила Архимеда должна скомпенсировать этот вес. Пусть $$x$$ - высота воды над нижним кубиком. Тогда сила Архимеда будет действовать на боковые грани нижнего кубика, площадь которых равна $$4 \cdot (0.1 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м}) = 0.04 \text{ м}^2$$. Дополнительная сила Архимеда: $$F_{A,доп} = \rho_{воды} \cdot A \cdot x \cdot g = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.04 \text{ м}^2 \cdot x \cdot g = 40x \cdot g$$ Чтобы конструкция оторвалась, $$F_{A,доп}$$ должна быть равна весу конструкции (1 кг): $$40x = 1$$, откуда $$x = \frac{1}{40} = 0.025 \text{ м} = 2.5 \text{ см}$$. Таким образом, общая высота воды должна быть $$10 \text{ см} + 2.5 \text{ см} = 12.5 \text{ см}$$. Ответ: 12.5 см