7. Во сколько раз плотность теплого воздуха внутри воздушного шара должна быть меньше плотности окружающего воздуха, чтобы шар поднялся? Объём шара 500 м², масса оболочки и груза 150 кг.

Для того чтобы шар поднялся, архимедова сила, действующая на шар, должна быть больше силы тяжести, действующей на шар с грузом и оболочкой. Архимедова сила: $$F_A = \rho_{окр} \cdot V \cdot g$$, где $$\rho_{окр}$$ - плотность окружающего воздуха, $$V$$ - объем шара, $$g$$ - ускорение свободного падения. Сила тяжести: $$F_T = (m + \rho_{внутр} \cdot V) \cdot g$$, где $$m$$ - масса оболочки и груза, $$\rho_{внутр}$$ - плотность теплого воздуха внутри шара. Условие подъема: $$F_A > F_T$$, следовательно: $$\rho_{окр} \cdot V \cdot g > (m + \rho_{внутр} \cdot V) \cdot g$$ Разделим обе части на $$V \cdot g$$: $$\rho_{окр} > \frac{m}{V} + \rho_{внутр}$$ $$\rho_{окр} - \rho_{внутр} > \frac{m}{V}$$ $$\rho_{внутр} < \rho_{окр} - \frac{m}{V}$$ Нам нужно найти отношение $$\frac{\rho_{окр}}{\rho_{внутр}}$$. Обозначим это отношение за $$k$$, то есть $$\rho_{окр} = k \cdot \rho_{внутр}$$. Тогда $$\rho_{внутр} = \frac{\rho_{окр}}{k}$$. Подставим в неравенство: $$\frac{\rho_{окр}}{k} < \rho_{окр} - \frac{m}{V}$$ $$\frac{\rho_{окр}}{k} < \rho_{окр} - \frac{150 \text{ кг}}{500 \text{ м}^3}$$ $$\frac{\rho_{окр}}{k} < \rho_{окр} - 0.3 \text{ кг/м}^3$$ Предположим, что плотность окружающего воздуха $$\rho_{окр} = 1.2 \text{ кг/м}^3$$ (при нормальных условиях). Тогда: $$\frac{1.2}{k} < 1.2 - 0.3$$ $$\frac{1.2}{k} < 0.9$$ $$k > \frac{1.2}{0.9} = \frac{4}{3} \approx 1.33$$ Таким образом, плотность теплого воздуха внутри шара должна быть примерно в 1.33 раза меньше плотности окружающего воздуха, чтобы шар начал подниматься. Ответ: примерно в 1.33 раза