На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?

Решение:

Пусть первое число из 10 последовательных натуральных чисел равно \( n \). Тогда эти числа будут:

\( n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8, n+9 \).

Сумма этих 10 чисел равна:

\( S_{10} = n + (n+1) + ... + (n+9) = 10n + (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) \)

Сумма арифметической прогрессии от 0 до 9 равна \( \frac{9 \times (9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45 \).

Значит, \( S_{10} = 10n + 45 \).

Когда стёрли одно число \( k \) (где \( k \) — одно из чисел от \( n \) до \( n+9 \)), сумма оставшихся девяти чисел стала равна 2002.

\( S_9 = S_{10} - k = 2002 \)

\( 10n + 45 - k = 2002 \)

\( 10n - k = 2002 - 45 \)

\( 10n - k = 1957 \)

Теперь нам нужно найти такое \( n \) и \( k \), чтобы выполнялось это равенство, причём \( k \) должно быть одним из чисел \( n, n+1, ..., n+9 \).

Из \( 10n - k = 1957 \) следует, что \( k = 10n - 1957 \).

Подставим это \( k \) в условие \( n ≤ k ≤ n+9 \):

\( n ≤ 10n - 1957 ≤ n+9 \)

Рассмотрим два неравенства:

1. \( n ≤ 10n - 1957 \)
2. \( 10n - 1957 ≤ n+9 \)

Из первого неравенства:

\( 1957 ≤ 9n \)

\( n ≥ \frac{1957}{9} ≤ 217.44 \)

Значит, \( n ≥ 218 \) (так как \( n \) — натуральное число).

Из второго неравенства:

\( 9n ≤ 1957 + 9 \)

\( 9n ≤ 1966 \)

\( n ≤ \frac{1966}{9} ≤ 218.44 \)

Значит, \( n ≤ 218 \).

Таким образом, \( n = 218 \).

Теперь найдём, какое число было стёрто, \( k \):

\( k = 10n - 1957 = 10 \times 218 - 1957 = 2180 - 1957 = 223 \).

Проверим, входит ли \( k=223 \) в ряд чисел от \( n=218 \) до \( n+9=218+9=227 \). Да, 223 находится в этом диапазоне.

Итак, 10 последовательных чисел начинаются с 218:

\( 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227 \).

Было стёрто число 223. Сумма оставшихся девяти чисел:

\( (218+219+220+221+222+224+225+226+227) = 2002 \).

Ответ: Числа, которые остались на доске: 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 227.