На фестивале науки собралось несколько волонтёров. Могло ли оказаться так, что трое из них знакомы ровно с пятью другими, а все оставшиеся имеют ровно двоих знакомых среди собравшихся?

Решение:

Это задача на применение леммы о рукопожатиях, которая гласит, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. Это значит, что сумма степеней всегда является четным числом.

Обозначим количество волонтёров как N.

Условие задачи:

• 3 волонтёра имеют степень 5 (знакомы с 5 другими).
• (N - 3) волонтёров имеют степень 2 (знакомы с 2 другими).

Сумма степеней всех вершин будет:

\[ 3 \times 5 + (N-3) \times 2 \]

Эта сумма должна быть четным числом.

Рассчитаем эту сумму:

\[ 15 + 2N - 6 = 9 + 2N \]

Теперь проверим, может ли это выражение быть четным числом. Выражение 2N всегда четное, так как это произведение любого целого числа (N) на 2. Однако, 9 - нечетное число. Сумма нечетного числа (9) и четного числа (2N) всегда будет нечетным числом.

Поскольку сумма степеней всех вершин (что равно удвоенному числу знакомств/ребер) всегда должна быть четной, а в нашем случае она получается нечетной (9 + 2N), то такое условие невозможно.

Ответ: нет, не могло