На каждом из рисунков найдите угол α, если одинаковыми дугами отмечены равные углы.

Решение:

Для решения будем использовать свойства вертикальных, смежных и накрест лежащих/соответственных углов при пересечении параллельных прямых, а также тот факт, что сумма углов вокруг точки составляет 360°.

Рисунок 1:

Один из углов равен 96°. Вертикальный ему угол также равен 96°. Два других угла, отмеченные дугой, являются смежными с углом 96°. Следовательно, каждый из них равен \( 180° - 96° = 84° \).

Угол α является вертикальным к одному из углов, равных 84°.

\( α = 84° \).

Рисунок 2:

Один из углов равен 44°. Угол, вертикальный ему, также равен 44°. Угол α является смежным с углом 44°.

\( α + 44° = 180° \)

\( α = 180° - 44° = 136° \).

Рисунок 3:

Вертикальный угол к углу 51° равен 51°. Угол α является смежным с углом 51°.

\( α + 51° = 180° \)

\( α = 180° - 51° = 129° \).

Примечание: На этом рисунке есть еще два угла, отмеченные одинаковой дугой, которые, вероятно, равны. Если предположить, что они равны α, то сумма всех углов вокруг точки составляет 360°: \( 51° + α + 51° + α = 360° \) → \( 2α + 102° = 360° \) → \( 2α = 258° \) → \( α = 129° \).

Рисунок 4:

Угол 36° и угол, отмеченный дугой, являются смежными. Угол, отмеченный дугой, равен \( 180° - 36° = 144° \). Угол α и угол 36° являются накрест лежащими при параллельных прямых (если предположить, что горизонтальные линии параллельны). Если это так, то \( α = 36° \). Однако, на рисунке три луча, исходящих из центра, и горизонтальная линия. Предположим, что горизонтальная линия пересекает два наклонных луча. Также на рисунке есть угол 64° и угол α.

Если предположить, что горизонтальные линии параллельны, и секущая пересекает их, то угол 36° и угол, где отмечена дуга, являются частями углов, образованных секущими. Угол α и угол 64° также связаны.

Пересмотрим рисунок 4:

Есть центральная точка, из которой исходят 6 лучей. Горизонтальная линия пересекает два луча. Отмечены углы 36°, α, 64°.

Угол 36° и угол, отмеченный одной дугой, являются смежными. Угол с одной дугой = \( 180° - 36° = 144° \).

Угол α и угол 64° отмечены одинаковой дугой, следовательно, \( α = 64° \).

Ответ:

• Рисунок 1: α = 84°.
• Рисунок 2: α = 136°.
• Рисунок 3: α = 129°.
• Рисунок 4: α = 64°.