14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «улитка», представляющая собой лома- ю, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда седнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее которой имеет длину 120.

Разбираемся:

Логика такая: нужно найти закономерность в длинах звеньев «улитки» и вывести общую формулу для суммы длин всех звеньев.

Решаем:

Длина каждого следующего звена увеличивается на 2.

10, 12, 14,...120 - это арифметическая прогрессия, где a₁ = 10, d = 2, aₙ = 120.

Найдем количество членов в этой прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

\[ 120 = 10 + (n - 1)2 \]

\[ 110 = (n - 1)2 \]

\[ 55 = n - 1 \]

\[ n = 56 \]

Теперь можно найти сумму всех членов прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

\[ S_{56} = \frac{10 + 120}{2} \cdot 56 \]

\[ S_{56} = \frac{130}{2} \cdot 56 \]

\[ S_{56} = 65 \cdot 56 \]

\[ S_{56} = 3640 \]

Ответ: 3640