14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке 105 изображён случай, когда послед- нее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогич- ным образом, последнее звено которой имеет длину 111.

Пусть n - число звеньев змейки. Длины звеньев образуют арифметическую прогрессию, где первый член равен 1, а разность равна 1.

Сумма n членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$, где $$a_1$$ - первый член, $$a_n$$ - n-ый член.

В нашем случае, a₁ = 1, aₙ = 111.

Так как число звеньев четное, то n = 2k, где k - целое число.

$$S_n = \frac{n(1 + 111)}{2} = \frac{n \cdot 112}{2} = 56n$$

Последнее звено имеет длину 111, значит, n = 111.

Длина ломаной:

$$S_{111} = \frac{111(1 + 111)}{2} = \frac{111 \cdot 112}{2} = 111 \cdot 56 = 6216$$

Ответ: 6216