Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Рисунок представляет собой «змейку», состоящую из звеньев, идущих по линиям сетки. Каждое звено параллельно оси. Звенья чередуются по направлению (горизонтально, вертикально) и увеличиваются в длине. В задаче указано, что последнее звено имеет длину 10. Это означает, что звено может быть 10 клеток. Заметим, что змейка состоит из четного числа звеньев, и длина каждого звена равна количеству клеток в нем.
Пусть длина последнего звена равна \( 2n \) клеток. Тогда, если последнее звено имеет длину 10, то \( 2n = 10 \), откуда \( n = 5 \).
Змейка состоит из звеньев с длинами: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Общая длина ломаной — это сумма длин всех звеньев. Если последнее звено имеет длину 10, то змейка состоит из 5 пар звеньев: (2, 4), (6, 8), (10). Не совсем ясно, как формируется змейка.
Рассмотрим рисунок. Есть 5 концентрических квадратов. Длина стороны большего квадрата 10. Длина следующего квадрата 8, затем 6, 4, 2. Длина ломаной — это сумма периметров квадратов. Или сумма длин всех звеньев.
Если последнее звено (т.е. самое длинное) имеет длину 10, это значит, что змейка состоит из звеньев 2, 4, 6, 8, 10. Длина всей ломаной будет суммой этих звеньев: \( 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 \) клеток.
Теперь рассмотрим случай, когда последнее звено имеет длину 140. По аналогии, звенья будут иметь длины 2, 4, 6, ..., 140.
Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 2 \) и разностью \( d = 2 \). Найдем количество членов в этой прогрессии. Пусть \( a_k = 140 \). Тогда \( a_k = a_1 + (k-1)d \) → \( 140 = 2 + (k-1)2 \) → \( 138 = (k-1)2 \) → \( 69 = k-1 \) → \( k = 70 \). Значит, всего 70 звеньев.
Сумма арифметической прогрессии: \( S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \) ⋅ \( k \).
\( S_{70} = \frac{2 + 140}{2} \) ⋅ \( 70 = \frac{142}{2} \) ⋅ \( 70 = 71 \) ⋅ \( 70 = 4970 \) клеток.
Ответ: 4970.
