В ромбе ABCD угол ABC равен 56°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В ромбе \( ABCD \) известны свойства:

1. Все стороны равны: \( AB = BC = CD = DA \).
2. Противоположные углы равны: \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \).
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \).
4. Диагонали пересекаются под прямым углом \( 90^{\circ} \) и делят углы ромба пополам.

По условию, \( \angle ABC = 56^{\circ} \).

Найдем \( \angle BAD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) делит угол \( \angle BAD \) пополам, так как ромб — это частный случай параллелограмма, и диагонали являются биссектрисами углов.

Значит, \( \angle BAC = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \) ⋅ \( 124^{\circ} = 62^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) также делит угол \( \angle BCD \) пополам. Найдем \( \angle BCD \): \( \angle BCD = \angle BAD = 124^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle BCA = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2} \) ⋅ \( 124^{\circ} = 62^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle ACD \). Как было показано выше, \( \angle ACD = 62^{\circ} \).

Проверка:

Рассмотрим треугольник \( ABC \). \( AB = BC \) (стороны ромба), значит, \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов в \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle BCA + 56^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle BCA = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \)

\( \angle BCA = 62^{\circ} \).

Так как \( \angle BCD = 124^{\circ} \) и \( \angle BCA = 62^{\circ} \), то \( \angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 124^{\circ} - 62^{\circ} = 62^{\circ} \).

Ответ: 62.