На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 18°. Длина меньшей дуги АВ равна 5. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол, опирающийся на дугу, в градусах.

У нас есть меньшая дуга \( AB \), которой соответствует центральный угол \( \angle AOB = 18^{\circ} \). Длина этой дуги равна 5.

\( 5 = \frac{\pi R \cdot 18^{\circ}}{180^{\circ}} \)

Упростим выражение: \( 5 = \frac{\pi R}{10} \).

Отсюда найдём произведение \( \pi R \): \( \pi R = 5 \) ⋅ \( 10 = 50 \).

Большая дуга \( AB \) соответствует центральному углу, равному полному обороту минус угол меньшей дуги: \( 360^{\circ} - 18^{\circ} = 342^{\circ} \).

Длина большей дуги \( AB \) будет: \( L_{большая} = \frac{\pi R \cdot 342^{\circ}}{180^{\circ}} \).

Подставим найденное значение \( \pi R = 50 \):

\( L_{большая} = \frac{50 \cdot 342^{\circ}}{180^{\circ}} \)

Упростим дробь: \( \frac{342}{180} = \frac{171}{90} = \frac{57}{30} = \frac{19}{10} = 1.9 \).

\( L_{большая} = 50 \) ⋅ \( 1.9 = 95 \).

Альтернативный способ:

Общая длина окружности равна \( C = 2 \pi R \). Также, длина окружности — это сумма длин меньшей и большей дуг: \( C = L_{меньшая} + L_{большая} \).

Длина меньшей дуги составляет \( \frac{18^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{20} \) часть длины окружности. Значит, \( 5 = \frac{1}{20} C \), откуда \( C = 5 \) ⋅ \( 20 = 100 \).

Длина большей дуги составляет \( \frac{342^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{19}{20} \) часть длины окружности.

\( L_{большая} = \frac{19}{20} \) ⋅ \( 100 = 19 \) ⋅ \( 5 = 95 \).

Ответ: 95.