На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

Решение:

Рассмотрим векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \).

Координаты точек:

• A: (1, 3)
• B: (2, 1)
• C: (3, 2)

Найдем векторы:

\( \vec{BA} = (1-2, 3-1) = (-1, 2) \)

\( \vec{BC} = (3-2, 2-1) = (1, 1) \)

Найдем скалярное произведение векторов:

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1)(1) + (2)(1) = -1 + 2 = 1 \)

Найдем длины векторов:

\( |\vec{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)

\( |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)

Найдем косинус угла между векторами по формуле:

\( \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)

\( \cos(\angle ABC) = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 \)

Найдём угол:

\( \angle ABC = \arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) \approx 71.565^{\circ} \)

Округлим до десятых.

Ответ: Приблизительно 71.6°.