Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечено девять точек. Проведите биссектрису угла AFB. Сколько отмеченных точек,…Фото задания

Ответ:

Решение:

Рассмотрим расположение точек на клетчатой бумаге. Угол AFB имеет вершину в точке F.

Точки A и B расположены симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через F.

Точки D и G также расположены симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через F.

Точки C и E расположены симметрично относительно горизонтальной оси, проходящей через F.

Точка H находится на вертикальной оси, проходящей через F.

Угол AFB — это прямой угол, так как стороны FA и FB проходят через точки, расположенные на перпендикулярных линиях, пересекающихся в точке F (например, FA проходит через A, а FB через B).

Биссектриса угла AFB делит этот прямой угол пополам. Прямой угол равен 90 градусов, значит, биссектриса будет образовывать углы по 45 градусов с каждой из сторон.

Посмотрим на точки, которые могут лежать на биссектрисе:

  1. Точка A и точка B — это стороны угла, они не лежат на биссектрисе, если угол не нулевой.
  2. Точка H находится на вертикали, проходящей через F. Если FA и FB идут под углом 45 градусов к горизонтали/вертикали, то H может лежать на биссектрисе.
  3. Точка C и точка E — симметричны относительно горизонтальной оси.
  4. Точка D и точка G — симметричны относительно вертикальной оси.

Чтобы точно определить биссектрису, нужно использовать координаты или визуальное восприятие симметрии.

Представим, что точка F — это начало координат (0,0).

Примерные координаты точек:

  • F = (0,0)
  • A = (-1, 1)
  • B = (1, 1)
  • C = (-1, 0)
  • D = (-1, -1)
  • E = (1, 0)
  • G = (1, -1)
  • H = (0, 1)
  • I = (0, -1)

В этом случае угол AFB является тупым, а не прямым. Переосмыслим расположение.

Давайте считать, что точки расположены так:

  • F = (0,0)
  • A = (-2, 2)
  • B = (2, 2)

Тогда FA и FB идут под углом 45 градусов к горизонтали. Угол AFB = 90 градусов. Биссектрисой будет горизонтальная ось y=0.

Точки на горизонтальной оси (y=0):

  • C = (-1, 0)
  • E = (1, 0)
  • F = (0,0) - вершина угла.
  • I = (0, -1) - не на оси y=0.

Отличные от A и B точки на биссектрисе (y=0) — это C и E.

Проверим другие точки:

  • H = (0, 2) - на вертикальной оси.
  • D = (-2, -2)
  • G = (2, -2)

Если A=(-2,2) и B=(2,2), то угол AFB = 90 градусов. Биссектриса - ось y=0. Точки на ней: C(-1,0), E(1,0), F(0,0). Если не считать F, то C и E. Это 2 точки.

Посмотрим на расположение на картинке. Точки A, H, B находятся на одной горизонтали. Точки D, I, G на другой. Точки C, F, E на третьей. Точки A, C, D на одной вертикали. Точки H, F, I на другой. Точки B, E, G на третьей.

Пусть F = (0,0).

Тогда:

  • A = (-2, 0)
  • B = (2, 0)
  • H = (0, 2)
  • I = (0, -2)
  • C = (-1, ?)
  • E = (1, ?)
  • D = (-2, ?)
  • G = (2, ?)

На картинке видно, что A, H, B находятся на одной прямой, как и D, I, G, а также C, F, E.

Это означает, что F лежит на одной прямой с C и E. Также F лежит на одной прямой с H и I. И A лежит на одной прямой с F и B (или скорее, A, H, B лежат на одной горизонтали, а D, I, G на другой).

Правильное представление сетки:

  • Вертикаль 1: A, C, D
  • Вертикаль 2: H, F, I
  • Вертикаль 3: B, E, G
  • Горизонталь 1: A, H, B
  • Горизонталь 2: C, F, E
  • Горизонталь 3: D, I, G

Пусть F = (0,0).

Тогда:

  • H = (0, 2)
  • I = (0, -2)
  • C = (-1, 0)
  • E = (1, 0)
  • A = (-2, 2)
  • B = (2, 2)
  • D = (-2, -2)
  • G = (2, -2)

Угол AFB. Вершина F. Стороны FA и FB.

Вектор FA = A - F = (-2, 2).

Вектор FB = B - F = (2, 2).

Скалярное произведение FA · FB = (-2)(2) + (2)(2) = -4 + 4 = 0.

Так как скалярное произведение равно 0, угол AFB — прямой (90 градусов).

Биссектриса угла AFB будет проходить через F и будет делить угол пополам.

Вектор биссектрисы будет суммой нормированных векторов FA и FB:

|FA| = \( \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

|FB| = \( \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Нормированный FA = \( \frac{1}{2\sqrt{2}}(-2, 2) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)

Нормированный FB = \( \frac{1}{2\sqrt{2}}(2, 2) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)

Сумма нормированных векторов = \( \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(0, \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = (0, \sqrt{2}) \).

Вектор биссектрисы — (0, \( \sqrt{2} \)), что означает направление вдоль оси Y.

Биссектриса проходит через F=(0,0) и направлена вдоль оси Y. Это прямая x=0.

Точки на прямой x=0:

  • F = (0,0)
  • H = (0, 2)
  • I = (0, -2)

Отличные от A и B точки, лежащие на биссектрисе (x=0):

H и I.

Таким образом, 2 точки.

Ответ: 2.