На координатной плоскости точки А (-4; 2), B (0;-3) и М (5; 2). Через точку М проведите прямую m, параллельную прямой АВ, и прямую n, перпендикулярную АВ.

Решение:

Для построения прямых нам нужно знать векторы, определяющие их направление.

1. Вектор АВ: \( \vec{AB} = (0 - (-4); -3 - 2) = (4; -5) \).
2. Прямая m проходит через точку М (5; 2) и параллельна АВ. Её направляющий вектор совпадает с \( \vec{AB} = (4; -5) \).
3. Прямая n проходит через точку М (5; 2) и перпендикулярна АВ. Нормальный вектор для прямой n будет \( \vec{AB} = (4; -5) \), а направляющий вектор для прямой n будет перпендикулярен \( \vec{AB} \). Можно взять вектор \( \vec{n} = (5; 4) \), так как \( \vec{AB} \cdot \vec{n} = 4 \cdot 5 + (-5) \cdot 4 = 20 - 20 = 0 \).
4. Уравнения прямых:
• Прямая m (параллельная АВ): Уравнение прямой, проходящей через точку \( (x_0, y_0) \) с направляющим вектором \( (a, b) \), имеет вид: \( \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} \). В нашем случае: \( \frac{x - 5}{4} = \frac{y - 2}{-5} \).
• Прямая n (перпендикулярная АВ): Уравнение прямой, проходящей через точку \( (x_0, y_0) \) с направляющим вектором \( (a, b) \), имеет вид: \( \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} \). В нашем случае: \( \frac{x - 5}{5} = \frac{y - 2}{4} \).