На кружок по математике пришли 19 человек. Учитель предложил решить две задачи: одну на проценты, вторую — на движение. Пятнадцать учеников решили задачу на проценты, и одиннадцать — на движение. Каждый ученик решил хотя бы одну задачу. Сколько человек решили обе задачи?

Решение:

Пусть \( A \) — множество учеников, решивших задачу на проценты, и \( B \) — множество учеников, решивших задачу на движение.

По условию задачи:

• Общее число учеников: \( |A \cup B| = 19 \)
• Число учеников, решивших задачу на проценты: \( |A| = 15 \)
• Число учеников, решивших задачу на движение: \( |B| = 11 \)

Формула включений-исключений для двух множеств:

\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]\[ 19 = 15 + 11 - |A \cap B| \]\[ 19 = 26 - |A \cap B| \]\[ |A \cap B| = 26 - 19 \]\[ |A \cap B| = 7 \]

Ответ: 7