4. На медиане BD треугольника АВС отмечена точка К. так что КА-КС. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный.

4. Дано: BD - медиана треугольника ABC, K ∈ BD, KA = KC.

Доказать: треугольник ABC - равнобедренный.

Доказательство:

Т.к. BD - медиана, то AD = DC.

Т.к. KA = KC, то треугольник AKC - равнобедренный, следовательно, ∠KAC = ∠KCA.

Пусть ∠KAC = α, тогда ∠KCA = α.

Рассмотрим треугольники ABK и CBK.

В них:

• BK - общая сторона
• KA = KC (по условию)

Чтобы доказать равенство этих треугольников, нужно показать равенство углов ABK и CBK.

Т.к. AD = DC и KA = KC, то точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Этот перпендикуляр делит отрезок AC пополам и проходит через его середину под прямым углом.

Пусть серединный перпендикуляр пересекает AC в точке M.

Тогда AM = MC и KM ⊥ AC.

Т.к. AM = MC, то треугольники AKM и CKM равны по двум сторонам и углу между ними (AM = MC, KM - общая сторона, ∠AMK = ∠CMK = 90°).

Следовательно, ∠AKM = ∠CKM.

Т.к. ∠AKC = ∠AKM + ∠CKM, то ∠AKM = ∠CKM = ∠AKC / 2.

Т.к. ∠AKC = 180° - 2α (сумма углов треугольника AKC равна 180°), то ∠AKM = ∠CKM = (180° - 2α) / 2 = 90° - α.

Тогда ∠BKA = 180° - ∠AKM = 180° - (90° - α) = 90° + α.

Аналогично, ∠BKC = 90° + α.

Т.к. KA = KC, BK - общая сторона и ∠BKA = ∠BKC, то треугольники ABK и CBK равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, AB = BC.

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный.

Ответ: доказано, что треугольник ABC - равнобедренный