На окружности отмечены точки A, B, C, D в указанном порядке. Известно, что хорда AB параллельна хорде CD. Докажите, что AC = BD и ∠CAD = ∠BDA.

Поскольку AB ∥ CD, при секущей AC углы BAC и ACD равны. Это вписанные углы, поэтому они опираются на равные дуги BC и AD.

Равным дугам соответствуют равные хорды, следовательно, BC = AD. Кроме того, хорды AB и CD равны: параллельные хорды, заключённые между параллельными направлениями, стягивают равные дуги (дуги AD и BC равны, поэтому оставшиеся дуги AB и CD также равны).

Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них AB — общая сторона, BC = AD, а ∠ABC = ∠BAD: эти вписанные углы опираются соответственно на дуги ADC и BCD, равные как суммы равных дуг AD и BC и общей дуги CD. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AC = BD.

Наконец, ∠CAD и ∠BDA — вписанные углы, опирающиеся на равные хорды CD и BA. Поэтому ∠CAD = ∠BDA.

Что и требовалось доказать.