В окружности проведены хорды AB и AC, причём AB = AC. Касательная к окружности в точке B пересекает луч AC в точке D. Докажите, что треугольник ABD равнобедренный, если ∠BAC = 36°.

Так как AB = AC, треугольник ABC равнобедренный с вершиной A. Поэтому его углы при основании равны:

∠ABC = ∠BCA = (180° − 36°) : 2 = 72°.

По теореме о касательной и хорде угол между касательной BD и хордой BA равен вписанному углу, опирающемуся на хорду BA. Следовательно, ∠ABD = ∠BCA = 72°.

Точки A, C, D лежат на одном луче, поэтому ∠BAD = ∠BAC = 36°. Тогда ∠ADB = 180° − 72° − 36° = 72°.

В треугольнике ABD углы ABD и ADB равны, значит, противоположные им стороны равны: AD = AB.

Ответ: треугольник ABD равнобедренный, AB = AD.