3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что ∠ABM=∠CBK, точка M лежит между точками A и K. Докажите, что AM = CK.

Дано: * Треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC). * Точки M и K на AC. * ∠ABM = ∠CBK. * M лежит между A и K. Доказать: AM = CK. Доказательство: 1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA. 2. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠CBK. По условию, они равны. 3. Рассмотрим углы ∠ABK и ∠CBM: * ∠ABK = ∠ABC - ∠CBK * ∠CBM = ∠ABC - ∠ABM * Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠ABK = ∠CBM. 4. Рассмотрим треугольники ABK и CBM: * AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника) * ∠BAK = ∠BCM (как углы при основании равнобедренного треугольника) * ∠ABK = ∠CBM (доказано выше) * Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 5. Из равенства треугольников ABK и CBM следует, что AK = CM. 6. Выразим AM и CK: * AM = AK - MK * CK = CM - MK * Так как AK = CM, то AM = CK. Что и требовалось доказать.