Медиана $$BM$$ треугольника $$ABC$$ перпендикулярна его биссектрисе $$AD$$. Найдите сторону $$AC$$, если $$AB = 7$$ см.

Пусть $$O$$ - точка пересечения медианы $$BM$$ и биссектрисы $$AD$$.

Так как $$BM \perp AD$$, то треугольник $$ABO$$ - прямоугольный.

Биссектриса $$AD$$ является также высотой, следовательно, треугольник $$ABO$$ - равнобедренный, и $$AB = AO$$.

Так как $$AD$$ - биссектриса, то $$\angle BAD = \angle OAC$$.

Также, $$\angle AOB = \angle DOC = 90^\circ$$ (как вертикальные углы).

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$.

1. $$\angle BAO = \angle DCO$$.
2. $$\angle AOB = \angle DOC$$.
3. $$AO = OC$$ (так как $$AD$$ - биссектриса и высота, то она также является медианой в треугольнике $$AOC$$).

Значит, треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Следовательно, $$AB = CD = 7$$ см.

Так как $$BM$$ - медиана, то $$AM = MC$$.

Также $$AO = OC$$, следовательно, $$AC = AO + OC = 2AO = 2AB = 2 \cdot 7 = 14$$ см.

Ответ: $$AC = 14$$ см.