Известно, что $$AB = AD$$ и $$BC = DC$$ (рис. 45). Докажите, что $$BO = DO$$.

Дано: $$AB = AD$$ и $$BC = DC$$

Доказать: $$BO = DO$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$.

1. $$AB = AD$$ (дано).
2. $$BC = DC$$ (дано).
3. $$AC$$ - общая сторона.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть $$\angle BAC = \angle DAC$$ и $$\angle BCA = \angle DCA$$.

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$ADO$$.

1. $$AB = AD$$ (дано).
2. $$\angle BAO = \angle DAO$$ (доказано выше).
3. $$AO$$ - общая сторона.

Следовательно, треугольники $$ABO$$ и $$ADO$$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что $$BO = DO$$.

Ответ: $$BO = DO$$ доказано.