На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точку M, а на стороне AB — точку K такую, что BK = KM и KM || BC. Докажите, что AM = MC.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный ( \( AB = BC \) ). \( M \) — точка на \( AC \), \( K \) — точка на \( AB \). \( BK = KM \) и \( KM ― \) средняя линия (или параллельна основанию).

Утверждение: AM = MC.

1. Анализ условия BK = KM.

Если \( BK = KM \), то \( \triangle BKM \) — равнобедренный с основанием \( BM \). Следовательно, \( \angle KBM = \angle KMB \).

2. Анализ условия KM || BC.

Если \( KM ― \) средняя линия \( \triangle ABC \), то \( K \) — середина \( AB \) и \( M \) — середина \( AC \). В этом случае \( KM = \frac{1}{2} BC \) и \( KM ― \) параллельна \( BC \).

Если \( KM ― \) средняя линия, то \( M \) — середина \( AC \), то есть \( AM = MC \). Это доказывает утверждение.

Однако, условие \( BK = KM \) должно быть использовано.

Если \( KM ― \) параллельна \( BC \) (не обязательно средняя линия), то \( \angle AKM = \angle ABC \) и \( \angle AMK = \angle ACB \) как соответственные углы при параллельных прямых \( KM \) и \( BC \) и секущих \( AB \) и \( AC \) соответственно.

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).

Из \( KM ― \) параллельна \( BC \) следует \( \angle AMK = \angle ACB \).

Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( \angle AMK = \angle BAC \).

Теперь рассмотрим \( \triangle BKM \).

\( BK = KM \) (дано).

\( \angle KBM = \angle KMB \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle BKM \)).

\( \angle KBM \) — это \( \angle ABC \).

\( \angle KMB \) — это часть угла \( \angle AMB \).

\( \angle BAC = \angle KAB \).

Из \( KM ― \) параллельна \( BC \) и секущей \( AB \), имеем \( \angle AKM = \angle ABC \).

Из \( KM ― \) параллельна \( BC \) и секущей \( AC \), имеем \( \angle AMK = \angle ACB \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).

Следовательно, \( \angle AMK = \angle BAC \).

Рассмотрим \( \angle AMB \). Это смежный угол с \( \angle AMK \), то есть \( \angle AMB + \angle AMK = 180^{\circ} \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle AMK = 180^{\circ} - \angle BAC \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABM \).

Углы в \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = \angle BAC \), \( \angle ABM = \angle ABC \), \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BAC \).

Сумма углов в \( \triangle ABM \): \( \angle BAC + \angle ABC + (180^{\circ} - \angle BAC) = \angle ABC + 180^{\circ} \). Это не равно \( 180^{\circ} \), если \( \angle ABC \) не равен \( 0 \).

Здесь есть ошибка в рассуждении.

Вернемся к \( \triangle BKM \). \( BK = KM \) => \( \angle KBM = \angle KMB \).

\( \angle KBM \) — это \( \angle ABC \) или часть его. \( K \) лежит на \( AB \), так что \( \angle KBM = \angle ABM \).

\( \angle KMB \) — это угол \( \angle AMB \) или часть его. \( M \) лежит на \( AC \), так что \( \angle KMB = \angle AMB \) (если K лежит между A и B, M между A и C, то \( \angle KMB \) может быть \( \angle AMB \)).

Значит, \( \angle ABM = \angle AMB \).

Если в \( \triangle ABM \) углы при основании \( AB \) и \( AM \) равны ( \( \angle ABM = \angle AMB \)), то \( \triangle ABM \) — равнобедренный с основанием \( BM \).

Тогда \( AB = AM \).

Но нам нужно доказать \( AM = MC \).

Из условия \( KM ― \) параллельна \( BC \) и \( K \) лежит на \( AB \), \( M \) лежит на \( AC \).

По теореме о пропорциональных отрезках (или Фалеса), если \( KM ― \) параллельна \( BC \), то \( \frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MC} \).

Из условия \( BK = KM \) и \( KM ― \) параллельна \( BC \).

Пусть \( \angle ABC = \beta \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).

\( \angle BAC = 180^{\circ} - 2 \beta \) (если \( \angle ABC \) — угол при вершине). Если \( \angle ABC \) — угол при основании, то \( \angle BAC = \angle BCA = \beta \), и \( \angle ABC = 180^{\circ} - 2 \beta \).

Предположим, \( AB=BC \) — боковые стороны, \( AC \) — основание. Тогда \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \), \( \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Из \( KM ― \) параллельна \( BC \) => \( \angle AKM = \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \) (как соответственные).

\( \angle AMK = \angle ACB = \alpha \) (как соответственные).

Теперь рассмотрим \( \triangle BKM \). \( BK = KM \) => \( \angle KBM = \angle KMB \).

\( \angle KBM \) — это \( \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \).

\( \angle KMB \) — это угол, образованный отрезком \( BM \) и \( KM \). \( \angle AMK = \alpha \). \( \angle AMB + \angle AMK = 180^{\circ} \) (если M лежит между A и C).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \alpha \).

\( \angle KMB \) — это часть \( \angle AMB \) или весь \( \angle AMB \).

Если \( K \) на \( AB \), \( M \) на \( AC \), то \( \angle KBM = \angle ABM \), \( \angle KMB = \angle AMB \).

Тогда \( \angle ABM = \angle AMB \).

\( \angle ABM = 180^{\circ} - 2\alpha \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \alpha \).

\( 180^{\circ} - 2\alpha = 180^{\circ} - \alpha \) => \( -2\alpha = -\alpha \) => \( \alpha = 0 \). Это невозможно.

Значит, \( K \) и \( M \) не могут быть просто точками на сторонах, чтобы \( ∧ KBM = ∧ ABM \) и \( ∧ KMB = ∧ AMB \).

Переосмыслим:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный ( \( AB = BC \) ). \( M \) на \( AC \), \( K \) на \( AB \). \( BK = KM \) и \( KM ― \) параллельна \( BC \).

Из \( KM ― \) параллельна \( BC \) и \( K \) на \( AB \), \( M \) на \( AC \) => \( \frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MC} \).

Из \( BK = KM \) => \( \triangle BKM \) — равнобедренный с основанием \( BM \). => \( \angle KBM = \angle KMB \).

\( \angle KBM \) — это \( \angle ABC \) (или его часть, если K не совпадает с A).

\( \angle KMB \) — это угол, который \( BM \) образует с \( KM \).

Так как \( KM ― \) параллельна \( BC \), то \( \angle KMB \) и \( \angle MBC \) — накрест лежащие углы при секущей \( BM \). Но это неверно, \( KMB \) и \( MBC \) не накрест лежащие.

\( ∧ KMB = ∧ CBM \) (накрест лежащие при \( KM ― \) || \( BC \) и секущей \( BM \)).

Значит, \( \angle KBM = \angle CBM \).

Это означает, что \( BM \) является биссектрисой \( \angle ABC \).

В равнобедренном \( \triangle ABC \) ( \( AB = BC \) ), биссектриса \( BM \) является также медианой и высотой.

Если \( BM \) — медиана, то она делит основание \( AC \) пополам.

Следовательно, \( AM = MC \).

Доказательство:

1. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный ( \( AB = BC \) ). \( M \) на \( AC \), \( K \) на \( AB \). \( BK = KM \) и \( KM ― \) параллельна \( BC \).
2. Из \( BK = KM \) следует, что \( \triangle BKM \) — равнобедренный с основанием \( BM \). Следовательно, \( \angle KBM = \angle KMB \).
3. Из \( KM ― \) параллельна \( BC \) и секущей \( BM \) следует, что \( \angle KMB = \angle CBM \) (как накрест лежащие углы).
4. Из равенств \( \angle KBM = \angle KMB \) (из п. 2) и \( \angle KMB = \angle CBM \) (из п. 3) следует, что \( \angle KBM = \angle CBM \).
5. \( \angle KBM \) — это тот же угол, что и \( \angle ABM \) (так как \( K \) лежит на \( AB \) ), а \( \angle CBM \) — это тот же угол, что и \( \angle ABC \).
6. Следовательно, \( \angle ABM = \angle CBM \). Это означает, что \( BM \) является биссектрисой \( \angle ABC \).
7. В равнобедренном \( \triangle ABC \) ( \( AB = BC \) ), биссектриса \( BM \), проведенная к основанию \( AC \), является также медианой.
8. Медиана \( BM \) делит основание \( AC \) пополам.
9. Следовательно, \( AM = MC \).

Что и требовалось доказать.