На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠ABM =∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Отметим на основании AC точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, и точка M лежит между A и K.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

2. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠CBK. По условию, ∠ABM = ∠CBK.

3. Рассмотрим углы ∠ABC. Его можно представить как сумму углов ∠ABM + ∠MBK или как ∠CBK + ∠MBK.

$$∠ABC = ∠ABM + ∠MBK = ∠CBK + ∠MBK$$

4. Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠MBK - общий угол. Поэтому:

$$∠ABC - ∠ABM = ∠ABC - ∠CBK$$

$$∠MBK = ∠MBK$$

5. Теперь рассмотрим треугольники ABM и CBK.

AB = BC (по условию, треугольник ABC равнобедренный)

∠ABM = ∠CBK (по условию)

∠BAM = ∠BCK (углы при основании равнобедренного треугольника ABC)

6. Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

7. Из равенства треугольников ABM и CBK следует равенство соответствующих сторон: AM = CK.

Что и требовалось доказать.