10. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Пусть AD и CE - высоты, проведенные к боковым сторонам BC и AB соответственно.

Дано: ∠BMC = 140°.

Рассмотрим четырехугольник ADCE. ∠ADC = ∠AEC = 90° (так как AD и CE - высоты).
Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
Значит, ∠DAE + ∠DCE = 360° - 90° - 90° = 180°.

∠DAE = 180° - ∠DCE.

Рассмотрим четырехугольник BMCD. ∠BDC = ∠BEC = 90°.
Значит, ∠BME + ∠BCE = 180°

∠BMC = 140°, значит, ∠BMA= 360° - 140° = 220°.
Также, ∠BCE = 180° - ∠BMC = 180° - 140° = 40°.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB.

В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠BAC + 2∠ACB = 180°
∠BAC = 180° - 2∠ACB = 180° - 2 * 40° = 100°.

∠A = 100°.

Но это не может быть, т.к. треугольник ABC остроугольный. Угол ∠BMA = 360° - ∠BMC = 360 - 140 = 220°.
Если ∠BMC = 140°, то ∠BMA = 140°.
Тогда ∠BCE = 180° - ∠BMC = 180° - 140° = 40°.

Так как ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно ∠ABC = ∠ACB = (180° - A)/2
Поскольку ∠BCE = 40°, то ∠C = ∠ACB = 40°.
∠A = 180° - 2 * 40° = 100°.
Сумма углов равна 180°.
Поскольку ABC - равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB.

Найдем угол ∠A = 180° - 2∠B = 180° - 2(20°) = 140°.


Если ∠BMC = 140°, то ∠BMA = 180 - ∠BMC = 180 - 140 = 40°.
∠BCE = 90 - ∠B = x.
∠B = ∠C.
Углы в треугольнике равны: 40°, 70°, 70°.
∠B = (180 - ∠BMC)/2 = (180 - 140)/2 = 20°.

Следовательно ∠B= ∠C= 20° + x.
Треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны.
∠A = 180° - ∠B - ∠C= 180 - 2(20° + x).
Рассматриваем треугольник BME, ∠BME= 40°, следовательно ∠BME = 90° - B.
Найдем углы треугольника ABC:
∠A = 20°.
∠B = ∠C = 80°.

**Ответ: ∠A= 20°, ∠B = 80°, ∠C = 80°**