Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Решение:

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с основаниями \( AB = AC \). Высоты \( BK \) и \( CL \) проведены к боковым сторонам \( AC \) и \( AB \) соответственно. Они пересекаются в точке \( M \).

В четырехугольнике \( BKLC \) \( BKL = CLB = 90^ \) (по определению высоты).

Сумма углов четырехугольника равна \( 360^ \). Следовательно, \( BKC + BAC + AKB + ALC = 360^ \).

В четырехугольнике \( BKMC \): \( BKC = 90^ \), \( BLC = 90^ \). \( BMC = 140^ \) (дано).

Сумма углов четырехугольника \( BKMC \) равна \( 360^ \).

\( KBC + KMC + MCB + CBK = 360^ \).

\( KBC = ABC \). \( MCB = ACB \).

\( BKC = 90^ \) и \( BLC = 90^ \). То есть \( BKC = 90^ \) и \( BLC = 90^ \) — это углы, образованные высотами с основаниями, а не углы треугольника \( ABC \).

Рассмотрим треугольник \( BMC \). Сумма углов в \( BMC \) равна \( 180^ \).

\( MBC + MCB + BMC = 180^ \).

\( MBC = ABC \). \( MCB = ACB \).

\( KBC \) — это угол, образованный высотой \( BK \) и основанием \( BC \). \( LCB \) — это угол, образованный высотой \( CL \) и основанием \( BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CLB \), где \( CLB = 90^ \).

\( LCB = ACB \). \( LBC = ABC \).

В треугольнике \( BMC \): \( MBC = ABC \), \( MCB = ACB \).

В прямоугольном треугольнике \( CLB \), \( LCB = 90^ \).

В прямоугольном треугольнике \( BKC \), \( BKC = 90^ \).

Рассмотрим треугольник \( BMC \). \( BMC = 140^ \).

\( MBC + MCB = 180^ - 140^ = 40^ \).

Так как \( ABC = ACB \) (равнобедренный треугольник), то \( MBC = MCB \).

\( 2 MBC = 40^ \) \( MBC = 20^ \).

Значит, \( ABC = 20^ \).

Так как \( ABC = ACB \), то \( ACB = 20^ \).

Угол \( BAC \) равен \( 180^ - (ABC + ACB) = 180^ - (20^ + 20^) = 180^ - 40^ = 140^ \).

Однако, условие гласит, что треугольник остроугольный. Угол \( BAC = 140^ \) является тупым. Следовательно, рассмотренный случай неверен.

Смотрим на рисунок. Высоты проведены к боковым сторонам \( AB \) и \( AC \), а угол \( BMC = 140^ \).

В четырехугольнике \( BKMC \), где \( BK ⊥ AC \) и \( CM ⊥ AB \) (в условии сказано \( CL ⊥ AB \)). Пусть \( BK \) и \( CL \) — высоты. \( BKC = BLA = 90^ \).

В четырехугольнике \( AKML \): \( AKM = 90^ \), \( ALM = 90^ \). \( BAC + KML = 180^ \).

\( KML \) и \( BMC \) — вертикальные углы. Значит, \( KML = BMC = 140^ \).

Тогда \( BAC = 180^ - 140^ = 40^ \).

Так как треугольник \( ABC \) равнобедренный и \( AB = AC \), то углы при основании равны: \( ABC = ACB \).

\( ABC = ACB = \frac{180^ - BAC}{2} = \frac{180^ - 40^}{2} = \frac{140^}{2} = 70^ \).

Проверка: треугольник остроугольный, так как все углы (40°, 70°, 70°) меньше 90°.

Ответ: Углы треугольника равны 40°, 70°, 70°.