10. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Пусть AD и CE - высоты, проведенные к боковым сторонам BC и AB соответственно. Дано: ∠BMC = 140°. Рассмотрим четырехугольник ADCE. ∠ADC = ∠AEC = 90° (так как AD и CE - высоты). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, ∠DAE + ∠DCE = 360° - 90° - 90° = 180°. ∠DAE = 180° - ∠DCE. Рассмотрим четырехугольник BMCD. ∠BDC = ∠BEC = 90°. Значит, ∠BME + ∠BCE = 180° ∠BMC = 140°, значит, ∠BMA= 360° - 140° = 220°. Также, ∠BCE = 180° - ∠BMC = 180° - 140° = 40°. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° ∠BAC + 2∠ACB = 180° ∠BAC = 180° - 2∠ACB = 180° - 2 * 40° = 100°. ∠A = 100°. Но это не может быть, т.к. треугольник ABC остроугольный. Угол ∠BMA = 360° - ∠BMC = 360 - 140 = 220°. Если ∠BMC = 140°, то ∠BMA = 140°. Тогда ∠BCE = 180° - ∠BMC = 180° - 140° = 40°. Так как ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно ∠ABC = ∠ACB = (180° - A)/2 Поскольку ∠BCE = 40°, то ∠C = ∠ACB = 40°. ∠A = 180° - 2 * 40° = 100°. Сумма углов равна 180°. Поскольку ABC - равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB. Найдем угол ∠A = 180° - 2∠B = 180° - 2(20°) = 140°. Если ∠BMC = 140°, то ∠BMA = 180 - ∠BMC = 180 - 140 = 40°. ∠BCE = 90 - ∠B = x. ∠B = ∠C. Углы в треугольнике равны: 40°, 70°, 70°. ∠B = (180 - ∠BMC)/2 = (180 - 140)/2 = 20°. Следовательно ∠B= ∠C= 20° + x. Треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны. ∠A = 180° - ∠B - ∠C= 180 - 2(20° + x). Рассматриваем треугольник BME, ∠BME= 40°, следовательно ∠BME = 90° - B. Найдем углы треугольника ABC: ∠A = 20°. ∠B = ∠C = 80°. **Ответ: ∠A= 20°, ∠B = 80°, ∠C = 80°**