На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точку М, а на стороне АВ — точку К такие, что ВК = КМ и КМ || ВС. Докажите, что АМ = MC.

Так как KM || BC, то ∠AKM = ∠ABC (как соответственные углы при параллельных прямых KM и BC и секущей AB). Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB.

Тогда ∠AKM = ∠ACB.

Рассмотрим треугольник BKM. Так как BK = KM, то треугольник BKM равнобедренный и ∠KBM = ∠KMB.

Так как KM || BC, то ∠KMB = ∠MBC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых KM и BC и секущей MB). Следовательно, ∠MBC = ∠KBM.

Получается, что BM - биссектриса угла ∠ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, AM = MC.

Что и требовалось доказать.