3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠ABM=∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АM = CK.

Для доказательства того, что AM = CK, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, где точки M и K отмечены на AC так, что ∠ABM = ∠CBK.

Дано:

• Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC)
• ∠ABM = ∠CBK

Необходимо доказать: AM = CK

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим углы ∠ABM и ∠CBK. По условию ∠ABM = ∠CBK.
3. Выразим углы ∠MBC и ∠ABK:
   • ∠MBC = ∠ABC - ∠ABM
   • ∠ABK = ∠ABC - ∠CBK
   Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠MBC = ∠ABK.
4. Рассмотрим треугольники ABK и CBM:
   • AB = BC (треугольник ABC равнобедренный)
   • ∠ABK = ∠CBM (доказано выше)
   • ∠BAK = ∠BCM (углы при основании равнобедренного треугольника ABC)
   Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
5. Из равенства треугольников ABK и CBM следует, что AK = CM.
6. Теперь рассмотрим отрезки AM и CK:
   • AM = AC - CM
   • CK = AC - AK
   Так как AK = CM, то AM = CK.

Таким образом, AM = CK.

Ответ: AM = CK (доказано).