3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠ABM =∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC, следовательно, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

1. AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC).
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию).

Так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠BAM = ∠BCK.

Следовательно, треугольники ABM и CBK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников ABM и CBK следует, что AM = CK (как соответственные элементы равных треугольников).

Ответ: АМ = СК.