3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ми К так, что LABM=∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = CK.

Дано: ΔABC - равнобедренный, AB = BC, ∠ABM = ∠CBK, точка M лежит между A и K на AC.

Доказать: AM = CK

Доказательство:

1. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, т.е. ∠BAC = ∠BCA.
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию).

Выразим ∠MBC и ∠ABK:

∠MBC = ∠ABC - ∠ABM

∠ABK = ∠ABC - ∠CBK

Т.к. ∠ABM = ∠CBK, то ∠MBC = ∠ABK.

Рассмотрим треугольники ABK и CBM:

1. AB = BC (т.к. ΔABC - равнобедренный)
2. ∠ABK = ∠MBC (доказано выше)
3. ∠BAK = ∠BCM (т.к. ΔABC - равнобедренный)

Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK = CM.

AK = AM + MK

CM = CK + MK

AM + MK = CK + MK

AM = CK

Ответ: AM = CK доказано.