4. Известно, что АВ = AD и ВС = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Дано: AB = AD и BC = DC. Требуется доказать, что BO = DO.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:
   • AB = AD (по условию).
   • BC = DC (по условию).
   • AC – общая сторона.
2. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
3. Из равенства треугольников ABC и ADC следует, что ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.
   • ∠BAC = ∠DAC означает, что AC – биссектриса угла BAD.
   • ∠BCA = ∠DCA означает, что AC – биссектриса угла BCD.
4. Рассмотрим треугольники ABO и ADO:
   • AB = AD (по условию).
   • ∠BAO = ∠DAO (так как AC – биссектриса угла BAD).
   • AO – общая сторона.
5. Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
6. Из равенства треугольников ABO и ADO следует, что BO = DO как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: BO = DO, что и требовалось доказать.