На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 60, BC = 15. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности. По условию, центр окружности находится в точке \( A \), а окружность проходит через точку \( C \). Следовательно, радиус окружности \( R = AC \).

Из условия задачи: \( AC = 60 \) и \( BC = 15 \).

Радиус окружности \( R = AC = 60 \).

Пусть \( BK \) — отрезок касательной, проведенной из точки \( B \) к окружности. Точка \( K \) лежит на окружности, значит \( AK = R = 60 \).

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AKB \). У нас есть:

• Гипотенуза \( AB = AC + CB = 60 + 15 = 75 \) (так как точка \( C \) лежит на отрезке \( AB \) и \( AC > BC \)).
• Катет \( AK = R = 60 \).
• Катет \( BK \) (длина касательной).

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AK^2 + BK^2 \)

\( 75^2 = 60^2 + BK^2 \)

\( 5625 = 3600 + BK^2 \)

\( BK^2 = 5625 - 3600 = 2025 \)

\( BK = \sqrt{2025} = 45 \)

Ответ: 45.