Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{242\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\), где \( \angle C = 90^{\circ} \).

По условию, площадь \( S = \frac{242\sqrt{3}}{3} \). Один из острых углов равен \( 30^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \)

\( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{BC}{AC} \) \( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{AC} \) \( \implies BC = \frac{AC}{\sqrt{3}} \)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \)

Подставим выражение для \( BC \) и значение площади:

\( \frac{242\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{AC}{\sqrt{3}} \)

\( \frac{242\sqrt{3}}{3} = \frac{AC^2}{2\sqrt{3}} \)

Выразим \( AC^2 \):

\( AC^2 = \frac{242\sqrt{3}}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{484 \cdot 3}{3} = 484 \)

Найдем \( AC \):

\( AC = \sqrt{484} = 22 \)

Ответ: 22.