1. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Обозначим точку касания отрезка, проведенного из точки B к окружности, за T. Так как BT - касательная к окружности с центром в точке A, то AT перпендикулярна BT (AT - радиус, проведенный в точку касания). Рассмотрим прямоугольный треугольник ATB. В этом треугольнике известны: AB = AC + CB = 75 + 10 = 85 AT = AC = 75 (радиус окружности) Найдем длину касательной BT, используя теорему Пифагора: $$BT^2 = AB^2 - AT^2$$ $$BT = \sqrt{AB^2 - AT^2} = \sqrt{85^2 - 75^2} = \sqrt{(85+75)(85-75)} = \sqrt{160 \cdot 10} = \sqrt{1600} = 40$$

Ответ: 40