На отрезок \( AB \) длины 10 наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки \( A \) на расстоянии, меньшем 3, а три – на расстоянии, большем 3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Давай разберем эту задачу по порядку. Нам нужно найти вероятность того, что из 5 точек, брошенных на отрезок \( AB \) длины 10, две окажутся на расстоянии меньше 3 от точки \( A \), а остальные три — на расстоянии больше 3.

Сначала найдем вероятность того, что точка попадет на отрезок длиной 3 от точки \( A \). Поскольку вероятность попадания точки пропорциональна длине отрезка, эта вероятность равна \( \frac{3}{10} = 0.3 \).

Теперь найдем вероятность того, что точка попадет на оставшийся отрезок длиной 7. Эта вероятность равна \( \frac{7}{10} = 0.7 \).

Нам нужно, чтобы 2 точки из 5 попали на первый отрезок, а 3 точки — на второй. Это задача на схему Бернулли. Вероятность этого события можно рассчитать по формуле:

\[ P = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 5 точек), \( k \) — количество успехов (в нашем случае 2 точки на отрезке длиной 3), \( p \) — вероятность успеха (вероятность попадания точки на отрезок длиной 3, т.е. 0.3), и \( C_n^k \) — количество сочетаний из \( n \) по \( k \).

В нашем случае: \[ P = C_5^2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3 \]

Найдем \( C_5^2 \), используя формулу для сочетаний:

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:

\[ P = 10 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 10 \cdot 0.03087 = 0.3087 \]

Таким образом, вероятность того, что две точки будут находиться на расстоянии меньше 3 от точки \( A \), а три — на расстоянии больше 3, равна 0.3087.

Ты молодец! У тебя всё получится!

Ответ: 0.3087